O núcleo e a imagem de transformações lineares são um dos aspectos chaves do assunto de transformações lineares dentro da álgebra linear. Com efeito, já abordamos o assunto das transformações lineares na parte 1 da série de artigos que estamos falando sobre álgebra linear. Entretanto, no primeiro artigo apenas nos interessamos em mostrar a linearidade das transformações e abrimos mãos de outros aspectos fundamentais.

Nesse sentido, agora vamos adentrar num segundo aspecto de interesse dentre o assunto das transformações lineares: o núcleo e a imagem de transformações. Com efeito, nós da MeuGuru, nesse artigo te traremos um pouco da teoria sobre o núcleo e imagem de transformações além de alguns exemplos práticos e simples que te mostrarão como você deve prosseguir para a determinação desses dois conjuntos.

O núcleo e imagem de uma transformação linear

O núcleo e imagem de uma transformação linear são dois conjuntos não vazios associados a uma transformação linear T. Em verdade, esses conjuntos são, na verdade, subespaços vetoriais que estão diretamente relacionados a saída que a transformação linear T pode nos dar. Assim, determinar o núcleo ou imagem de uma transformação é, em essência, compreender efetivamente o que nossa transformação pode nos retornar.

Agora, com intuito de sermos mais precisos vamos a descrição de cada um desses subespaços.

O núcleo de uma transformação

Então, vamos definir o núcleo de uma transformação. Com efeito, o núcleo de uma transformação T, o qual denotamos por nul(T), é o conjunto de vetores v tais que Tv = 0 onde aqui 0 denota o vetor nulo. Assim, segue que o núcleo será composto, em suma, por todos os vetores que levam a transformação linear ao vetor nulo. Ademais, o núcleo de uma transformação linear também admite outro nome que é o kernel (núcleo em inglês) o qual é utilizado de forma abrasileirada em alguns textos de álgebra linear.

Ademais, por essa definição já fica evidente que o núcleo de T, o qual denotamos por Ker(T), é um espaço vetorial. De fato, basta ver que o vetor nulo está, obrigatoriamente em Ker(T) e por linearidade dado dois vetores u e v em Ker(T) e um escalar p do corpo associado temos que T(u+kv) = T(u) + kT(v) = 0 o que implica que u+v está em Ker(T) e ainda que kv também está em Ker(T), basta tomar u sendo o vetor nulo.

Além disso, há um outro importante conceito associado ao núcleo da Transformação: a nulidade. Com efeito, a nulidade é associada ao tamanho do núcleo de uma transformação linear. Isto é, a nulidade de T é igual a dimensão do espaço vetorial gerado pelos vetores v tais que Tv = 0, ou seja, a nulidade de T, que denotamos por null(T), é null (T) = dimensão(Ker(T)). Em particular, esse conceito será extremamente importante pois é com base nele que permite-se a definição de um importante Teorema: o Teorema do Núcleo e da Imagem.

A imagem de uma transformação

Por outro lado, se o Ker(T) é o composto pelos vetores que fazem a transformação linear ir ao vetor nulo segue que o a imagem de T é exatamente o oposto. Isto é, a imagem de T, que denotamos por Im(T), é o conjunto de vetores v que são gerados pela transformação linear. Assim, a determinação da imagem de uma transformação linear permite entender qual subespaço vetorial é gerado por T.

Dessa forma, a imagem de T permite que entendamos melhor os aspectos geométricos e algébricos da transformação T. Além disso, é evidente que esse conjunto é um espaço vetorial assim como o núcleo da transformação e a demonstração é análoga (que tal tentar fazer gurunauta ? acho isso um ótimo exercício =) ).

Além disso, há também aqui uma quantidade análoga a nulidade a qual é chamada de rank. Com efeito, o rank de uma transformação linear T é exatamente a quantidade de vetores que formam a base do espaço gerado por T. Assim, temos que rank(T) = dimensão(Imagem de T) e essa definição também será útil na descrição do Teorema do Núcleo e da Imagem.

Aplicações do núcleo e imagem de uma transformação

O núcleo e a imagem de uma transformação linear têm várias aplicações importantes em álgebra linear e em outras áreas da matemática e ciência. Aqui estão algumas das principais aplicações:

1. Sistemas de equações lineares: O núcleo de uma transformação linear está diretamente relacionado à solução de sistemas de equações lineares homogêneas. Isto é, quando o sistema depende apenas de valores associados a suas incógnitas, ou seja um sistema homogêneo é aquele em que todos os termos constantes são iguais a zero. Assim, a nulidade da transformação linear associada ao sistema homogêneo é igual ao número de soluções independentes do sistema.
2. Diagonalização de matrizes: A diagonalização de uma matriz envolve encontrar uma base de autovetores, que estão no núcleo da matriz menos a matriz identidade vezes um escalar. Ademais, esse procedimento aparece frequentemente em várias áreas, como em sistemas dinâmicos lineares, mecânica quântica e análise de redes elétricas.
3. Equações diferenciais e transformadas integrais: O núcleo de transformações aparece, também, como o conjunto de soluções associadas a EDOs homogêneas e a imagem de transformações permite descrever o conjunto de vetores associados as transformadas integrais como as de Laplace ou de Fourier.

O Teorema do Núcleo e da Imagem

Como é claro, os conceitos de núcleo e de imagem são intimamente ligados uma vez que esses associam vetores a conjuntos de vetores nulos e não nulos, respectivamente, pela transformação T. Assim, já deve ser imaginado que esses dois conceitos estejam intimamente ligado. De fato, eles estão e a entidade matemática responsável por isso chama-se: Teorema do Núcleo e da Imagem que, em verdade, associa as dimensões dos espaços núcleo e imagem com a dimensão da transformação T.

Nesse artigo, nosso foco não será explorar esse Teorema a fundo, nesse sentido sequer o enunciaremos. Em verdade, essa escolha se deve a sua grandiosidade para a Álgebra linear, assim, entendemos que esse tema merece um artigo próprio para ele o qual será a parte 3 dessa série.

Exemplos resolvidos – Determinação do núcleo e imagem

Agora, vamos atacar alguns problemas. Uma vez que, agora você já conhece e entende bem o que são os conjuntos do núcleo e imagem de T está na hora de vermos na prática como identificamos tais conjuntos. Com efeito, a ideia é simplesmente empregar as definições que caracterizam tais conjuntos e usá-las para determinamos esses conjuntos.

Nesse sentido, vamos aos exemplos para tanto, consideraremos uma transformação linear do espaço euclidiano dada por:

T(x,y,z)= (6x+3y,2z+y,z).

Agora, prosseguiremos com as etapas.

Determinação do núcleo da transformação

Como sabemos, o núcleo é o conjunto gerado por todos os vetores que levam T ao vetor nulo. Assim, tomando o vetor v=(x,y,z) vamos impor que esse esteja no núcleo de modo que teremos o seguinte desenvolvimento.

Logo, o sistema fica definido com as variáveis dependentes de x de modo que teremos que o conjunto de vetores (x,y,z) do núcleo de T são os vetores (x,y,z) = (x,2x,-x)= x(1,2,-1). Assim, temos que o núcleo de T é nul(T) = Ker(T) = {(x,y,z) do espaço euclidiano tais que (x,y,z) = (x,2x,-x)= x(1,2,-1) } ou ainda é o espaço gerado por (1,2,-1), em notação de álgebra linear: nul(T) = Ker(T) = [(1,2,-1)].

Ademais, note que temos apenas um vetor que gera todo o núcleo e logo segue que a nulidade e a dimensão do núcleo são: null(T) = dimensão (Ker (T)) = dim(Ker(T)) = 1.

Determinação da imagem da transformação

Agora, determinaremos a imagem da transformação o que é consideravelmente mais simples. Com efeito, basta fazer o seguinte desenvolvimento:

Logo os vetores (-6,0,1), (3,1,0) e (0,2,1) são os vetores que formam o espaço gerado por T e esses são a imagem de T. Entretanto, note que:

-2 (3,1,0) + (0,2,1) = (-6,-2,0) + (0,2,1) = (-6,0,1).

que mostra que esses vetores são L.D. Logo, podemos descartar um deles uma vez que o terceiro não fará diferença. Assim, ficamos com o fato de que o espaço gerado pelos vetores é dado por, simplesmente: (3,1,0) e (0,2,1).

Logo, segue que Im(T) = [(3,1,0) e (0,2,1)] e consequentemente, temos que Rank(T) = 2.

Um comentário importante para a parte 3!

Agora, veja que Rank(T) + null(T) = dim(Im(T)) + dim(Ker(T)) = 2 + 1 = 3 onde 3 é exatamente a dimensão do espaço euclidiano em que T está definida. De fato, isso não é uma coincidência, na verdade, isso é exatamente o resultado que o Teorema do Núcleo e da Imagem fornece e e aqui o verificamos para esse caso particular.

Todavia, na parte 3 exploraremos ele de forma mais geral bem como suas aplicações e sua importância na caracterização das aplicações que são injetivas, sobrejetivas e aos isomorfismos.

Referências

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