Nesse artigo, vou te ensinar a como resolver as equações de Riccati.

Esse artigo é mais um texto sobre as elegantíssimas equações diferenciais ordinárias. Em particular, vamos estudar um tipo específico de EDO, o qual é chamado de equação de ricati. Essa equação não é tão comum como as lineares que eu já te mostrei. Logo, ter em mente o que são e como resolver as equações de riccati pode ser decisivo na hora de uma prova. Então, cola comigo e vamos desmistificar esse assunto.

O que é são as equações de Riccati

Antes de tudo, é importante entendermos o que são as equações ou equação de Riccati. Em suma, essas equações são tipos específicos de equações diferenciais ordinárias, possuem ordem 1 e são não lineares. Todavia, por mais que sejam não lineares essas equações tornam-se muito importantes, visto que, possuem solução analítica e fórmula resolutiva. Por conta disso, comumente são apresentadas nos primeiros cursos de EDOs ou algum respectivo Cálculo.

Feita nossa introdução, vamos agora ao que interessa. Com efeito, consideremos P(x), Q(x) e f(x) três funções contínuas e reais e seja, ainda, uma função incógnita y. Então, a EDO

é dita ser uma Equação de Riccati. Decerto, veja que diferentemente das EDOs lineares aqui, temos, um termo y² o qual é não linear. Em particular, no caso em que f(x) = 0 a EDO se torna uma equação de Bernoulli que é uma EDO, também não linear, mas com solução explícita e analítica.

Note ainda que, agora podemos justificar o título “equações de riccati”. De fato, como P(x), Q(x) e f(x) são funções EDO acima, define uma família de EDOs possíveis. Com certeza, você deve ter visto isso e imaginado como o mundo das EDOs é empolgante não é mesmo? .

Caso contrário, se você só quer ver como resolver essa equação para garantir a sua aprovação, tudo bem , na MeuGuru estamos prontos para te ajudar em todos os problemas e todas as suas demandas.

Como resolver uma equação de Riccati

A equação de Riccati pode ser resolvida de forma analítica. No entanto, para isso é necessário um conhecimento prévio de uma solução. Em geral, as questões vão te dizer qual é a solução y₂(x) da EDO e o que elas pedirão será para que você determine a solução y₁(x). Dito isso, agora você entenderá a base para resolver uma equação de Riccati, então vamos aos passos.

Passo 1 – Obter uma equação de Bernoulli

Primeiramente, devemos fazer uma mudança de variáveis usando a solução particular que é nos dado e a segunda solução particular para a EDO de Riccati. Nesse sentido, o seguinte Teorema nos diz o que fazer.

Portanto, o problema de Resolver a EDO de Riccati é transladado para uma Equação de Bernoulli com n =2. A EDO obtida é chamada de EDO associada, ou equação de Bernoulli associada.

Passo 2 – Resolver a equação de Bernoulli associada

Agora que temos uma equação de Bernoulli de ordem n=2, podemos resolvê-la empregando os métodos resolutivos dessa equação. Para isso, o Teorema a seguir nos diz como devemos prosseguir

Com isso, nosso problema passa a ser resolver uma equação linear de primeira ordem. Essa, por sua vez, é bem mais tranquila de resolver.

Passo 3 – Resolver a equação linear

Agora, você pode empregar os métodos comuns vistos no curso de EDO e resolver a equação linear. No entanto, você terá obtido uma resposta para Φ.

Passo 4 – Voltando as variáveis originais

Agora que você resolveu a equação linear e tem em mãos a solução Φ(x), você pode determinar as outras soluções. De fato, basta você ver o seguinte

Por fim, relacionando as incógnitas, obtêm-se que a solução y₁ desejada é

Chegamos ao fim gurunauta, espero que esse texto tenha te ajudado e que você saia daqui mais inteligente. Mas fica ligado, qualquer coisa e dificuldade é só contar com a MeuGuru, estamos sempre prontos para te ajudar em tudo que você precisar.