Os modelos epidemiológicos constituem uma importante ferramenta matemática para a predição do avanço de epidemias. De fato, com esses modelos podemos entender o comportamento de como doenças, vírus e afins se disseminam em uma dada população. No contexto, da pandemia do Covid-19, esses modelos foram fundamentais para a tomada de decisão pública de medidas de distanciamento social.

Ademais, após ocenário pandêmico que vivemos os modelos epidemiológicos ainda são protagonistas no cenário acadêmico e científico. Uma vez que, a própria pandemia do Covid-19 revelou a necessidade de aperfeiçoarmos nossos conhecimentos nesse assunto. Entretanto, mesmo com certas dificuldades ainda podemos entender os modelos epidemiológicos como uma arma da matemática que luta contra vírus e doenças.

Nesse contexto, trazemos nesse texto um panorama sob os modelos epidemiológicos contextualizando com os assuntos de Física e Matemática que estudamos no ensino superior. Então gurunauta, vem comigo que hoje vamos conhecer como a matemática, através de fórmulas e cálculos luta contra as ameças microscópicas da humanidade.

Entenda o que são modelos matemáticos

Antes de tudo, vamos começar o texto buscando entender o que são modelos matemáticos. De fato, a base do assunto que estamos tratando são as noções de modelos que, por sua vez, sustentam-se na sólida teoria das equações diferenciais.

Em verdade, a noção básica dos modelos matemáticos é de escrever os problemas reais (ou aproximações) em uma linguagem matemática. Quando fazemos isso, conseguimos transpor a realidade física do nosso mundo para alguma expressão matemática. Com isso, poderemos manipular, empregar leis e resultados da matemática para predizermos o comportamento do nosso modelo.

Vamos entender melhor essa ideia analisando um modelo logo a seguir.

Um exemplo de um modelo matemático na física

Com fins de buscarmos entender e ilustrar as ideias de modelos matemáticos, exploraremos um modelo simples que pode ser muito útil para essa ideia. De fato, pense no seguinte sistema: Prendemos à parede uma mola (que pode esticar e ser comprimida) e colocamos na extremidade livre da mola um bloco.

Esse sistema é muito conhecido e amplamente estudado na Física por ser a base para inúmeros outros problemas. Com efeito, ao puxarmos um pouco o bloco e deixarmos a mola fazer o sistema oscilar conseguimos ter o chamado oscilador harmônico.

Ademais, o desafio nesse caso consiste em obter uma expressão (função matemática) que descreva em que posição o bloquinho estará em cada instante de tempo t. De fato, esse problema é simples, entretanto, o modelo do sistema massa-mola é base para várias modelagens, inclusive de áreas como a engenharia civil e até economia.

A solução das equações de movimento guiadas pela lei de Newston dá a solução do problema. Não vamos, nesse artigo nos ater a isso, mas caso tenha interesse é só conferir esse artigo e esse aqui.

Um exemplo de modelo populacional

Obviamente, os modelos matemáticos existem não apenas na física. Em verdade, a biologia é uma das grandes ciências que traz, constantemente avanços para a matemática aplicada. Tendo isso em vista, vamos modelar um problema simples de crescimento populacional.

Com efeito, vamos nos focar em quantificar o toal de bactérias, após um dado tempo. Bom, de início, precisamos saber as hipóteses do problema, basicamente, são regras que guiam como o modelo se comporta. De fato, sabemos da biologia que bactérias se reproduzem por um mecanismo chamado de bipatição, logo, cada bactéria se divide e gera outras duas após um dado tempo fixo.

Modelando o crescimento de bactérias

Então, vamos lá criar nosso modelo, para isso vamos fazer uma experiência!. Vamos imaginar que no início, temos apenas uma bactéria. Portanto, apos um tempo, digamos t, ela se divide então teremos 1->1+1 = 2 duas bactérias. Agora, imaginemos que esse processo se repete e após outro tempo t, as bactérias sofrem bipartição, então, cada uma das duas bactérias anteriores se dividem, ou seja temos que 2-> 2+2 =4 e isso gera um total de quatro bactérias. Repetindo o processo, após outro tempo t, teremos, de cada bactéria, outras duas bactérias dessa forma, vamos ter 4 -> 2 + 2 + 2 +2 = 8 bactérias no total.

Agora, veja que com isso somos capazes de elaborar um padrão que é o seguinte: 1bactéria -> 2bactérias, 2bactérias->4bactérias=2²bactérias e 4bactérias->8bactérias=2³bactérias e por aí vai. Logo, esse problema nos diz, essencialmente, que para sabermos a quantidade de bactérias basta pegarmos o número 2 e elevar a quantidade t de vezes que a bactéria se reproduziu. A figura a seguir ilustra esse processo pass a passo

Figura 2. Esquematização da modelagem da bipartição de bactérias.

Com efeito, esse é o modelo exponencial de crescimento bacteriano, e a função exponencial dá sua solução. Isso mesmo gurunauta, a mesma função exponencial que vimos e estudamos desde o ensino médio.

Os modelos epidemiológicos

Bom, os exemplos vistos anteriormente ilustram bem a força dos modelos matemáticos. Na verdade, esses modelos podem ser usados, inclusive, para problemas mais sofisticados a medida que acrescentam-se mais hipóteses sobre os problemas a serem estudados. Dentre os vários problemas que os modelos atacam encontram-se os modelos epidemiológicos.

De fato, esses modelos são exatamente como os outros, no entanto, eles agem sobre um tipo específico de problema: epidemias. Nesses casos, os modelos epidemiológicos focam-se em entender como ocorrerá a interação entre os indivíduos infectados por doenças, indivíduos sucetíveis a uma doença, indivíduos recuperados e indivíduos mortos por uma doença. Dessa forma, você já deve imaginar como, ao longo do período pandêmico, deve ter sido relevante para os governos terem em mãos dados de pesquisa sobre a predição de indivíduos com a Covid-19.

Como estruturar os modelos epidemiológicos

Entretanto, por vezes é difícil termos para esses modelos o que aconteceu com nosso exemplo sobre bactérias. Isto é, no exemplo acima conseguimos predizer que a fórmula matemática para os modelos populacional de bactérias seria uma exponencial. Esse resultado tem uma força suficientemente grande dentro da matemática.

Isso ocorre por que os fenômenos epidêmicos são descritos por um tipo específico de estrutura matemática: as equações diferenciais ordinárias. Em suma, essas equações são um assunto um tanto quanto avançado de cálculo. Para que você entenda, podemos estabelecer uma analogia com as equações do segundo grau. Com efeito, na escola, muitas vezes tinhamos que responder problemas que eram, essencialmente, determinar raízes de uma dada equação do segundo grau e as raízes eram números reais que satisfaziam a equação, por exemplo.

x²+3x+2=0 tem como raízes x = -1 e x =-2, que podem ser obtidas pelo método de Bhaskara para finalizar o problema.

Entretanto, se você olhar o problema nas quações diferenciais verá que é uma situação bem mais complicada. De fato, nelas a solução do nosso problema será uma função f(x) e calma gurunauta, as coisas ainda ficam piores pois diferentemente do caso acima, que temos um método para resolver (método de Bhaskara) no cenário das equações diferenciais sequer temos um método universal para solucionarmos as equações diferenciais.

Nesse sentido, métodos computacionais são usados para estudar e resolver os modelos epidemiológiocos. Ou seja, necessitamos de ferramentas que vão além do papel e caneta para resolvermos esses casos complicados que se assemelham com a realidade.

Os modelos epidemiológicos e as Equações diferenciais ordinárias

De fato, as equações diferenciais ordinárias (EDO) sustentam e dão para os fenômenos epidêmicos um forte arcabouço matemático para se estruturarem. A íntima conexão entre esses assuntos se dá por que as equações diferenciais ordinárias tem a possibilidade de entender o comportamento de fenômenos que mudam com o tempo.

Em verdade, o problema do crescimento populacional de bactérias que tinhamos colocado acima é um desses casos, ele pode ser escrito como uma dada EDO. Ademais, por permitirem essa conexão com os fenômenos epidêmicos torna-se possível uma precisão convergência entre os resultados matemáticos e a observação da epidemia.

Como estruturar modelos e o modelo SIR

Os modelos epidemiológicos que utilizam equações diferenciais ordinárias (EDOs) são geralmente estruturados em torno da ideia de dividir a população em diferentes categorias ou compartimentos, cada um dos quais representa um estado de saúde ou de exposição ao agente infeccioso. Que são exatamente os indivíduos que havíamos mencionado anteriormente. Assim, esses termos que representam a quantidade de indivíduos são transportados para funções.

O modelo epidemiológico mais simples e comum é o modelo SIR (Susceptível-Infectado-Recuperado), que é estruturado em torno desses três compartimentos. Nesse caso, temos a O modelo SIR assume que a população pode ser dividida em três categorias:

• Suscetíveis (S): indivíduos que são saudáveis e ainda não foram expostos ao agente infeccioso;
• Infectados (I): indivíduos que foram expostos ao agente infeccioso e estão infectados;
• Recuperados (R): indivíduos que se recuperaram da doença e são imunes à infecção.

Entretanto, o modelo SIR é descrito por um sistema de três equações, uma para cada dos indivíduos acima, e não por uma única EDO

Usando o modelo SIR, os pesquisadores podem prever como a doença se espalhará em uma população ao longo do tempo. Isso é útil para prever surtos de doenças infecciosas e para informar políticas de saúde pública, como vacinação em massa e medidas de distanciamento social, que podem ajudar a prevenir a disseminação da doença.

O modelo do Covid-19

No contexto da Covid-19, nós não podemos aplicar imediatamente o modelo SIR. Decerto, isso ocorre pelas característica da doença, uma vez que, o virus fica incubado no indivíduo infectado por alguns dias e só depois o infectado sinaliza os sintomas. diferentes como um dado tempo de incubação no usuário

Nesse sentido, várias modificações desse modelo foram feitas de modo a conseguir completar o modelo e que ele se torne mais próximo da realidade. Um exemplo é o modelo SEIR, que inclui um compartimento adicional de indivíduos expostos que ainda não apresentaram sintomas, mas podem transmitir a doença. O modelo SEIR pode ser mais preciso para o COVID-19, uma vez que a transmissão pode ocorrer antes que uma pessoa infectada apresente sintomas.

Outros modelos epidemiológicos, como o modelo SEIRD (Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered-Deceased), incluem um compartimento para indivíduos que faleceram devido à doença. Com efeito, o uso do SEIRD pode, inclusive, estimar e prever a mortalidade associada ao Covid-19.

Os modelos epidemiológicos para o COVID-19 também levam em consideração fatores como a taxa de transmissão, o tempo de incubação da doença, a taxa de mortalidade e a taxa de recuperação.

Considerações e perspectivas

De fato, dada a complexidade da Covid-19, fizemos vários avanços no campo dos modelos epidemiológicos, ao passo que começaram os estudos sobre como incorporar os efeitos diversos das doenças nas equações e nos modelos já existentes.

Em suma, os modelos epidemiológicos são úteis para prever a disseminação de doenças infecciosas e informar políticas de saúde pública. No entanto, é importante lembrar que os modelos epidemiológicos são simplificações da realidade e estão sujeitos a incertezas e limitações de dados. Portanto, precisamos interpretar os resultados dos modelos com cautela e usá-los em conjunto com outras fontes de informação para informar a tomada de decisões em saúde pública.

Referências

• Garner, M.G. & Hamilton, S.A. (2011) Principles of epidemiological modeling Rev Sci. Tech (2):407-16 [Accessed online 26^th May 2021] https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/21961213/
• https://www.nature.com/articles/s41467-020-19798-3
• https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2211379722000122