Neste texto vamos aprender sobre a operação de fatorial. Essa operação é bastante usada em várias áreas da matemática, principalmente ligadas à análise combinatória e contagem, e também pode ser usada para simplificar a notação de algumas expressões.

Definição de fatorial.

Primeiro, vamos definir essa operação apenas para números naturais e o zero, e denotamos o fatorial de um número com ele escrito seguido do símbolo “!”. Por exemplo, 5 fatorial é escrito como “5!”. 

É importante notar que esse símbolo que em matemática chamamos de fatorial é chamado de símbolo de exclamação na língua portuguesa e devemos ter atenção para não confundir. 

Vamos para a definição dessa notação.

O fatorial de um número é igual a multiplicação dele pelos seus antecessores até o 1. Isto é, n! = n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1.

Convencionamos também que 1!=1 e 0!=1.

Exemplos.

Agora que já vimos a definição formal vamos calcular alguns exemplos para ficar as ideias.

2! = 2·1 = 2

3! = 3·2·1 = 6

4! = 4·3·2·1 = 24

5! = 5·4·3·2·1 = 120

Se quiser pode continuar calculando o valor do fatorial dos números em sequência.

Definição recursiva

Ao passo que já temos alguma familiaridade, é notável que podemos dar uma outra definição para essa operação. A definição a seguir é recursiva e pode ser vista como uma propriedade, mas trazê-la como definição nos faz enxergar a essência da operação que estamos trabalhando.

Definição (Recursiva). O fatorial de 0 e 1 é igual a 1 e para os outros números naturais é igual a ele multiplicado pelo fatorial de seu antecessor.

Essa noção escrita aritmeticamente fica da seguinte maneira:

n! = n·(n-1)!

Fatorial em C

A definição recursiva que acabamos de dar faz que possamos fazer facilmente um algoritmo recursivo para calcular os números fatoriais.

Vamos fazer a seguir esse algoritmo em uma função em C, que recebe o número e retorna seu fatorial.

int fatorial(int n){

if(n==1 || n==0) return 1;

return n*fatorial(n-1)!;

}

Aplicações

As aplicações de números fatoriais são incontáveis e vão desde a estatística passando por várias áreas da matemática. 

Em outros textos deste blog você pode ver o uso de fatorial na prática em análise combinatória e contagem. Alguns desses textos ainda serão publicados, então não perde de ficar de olho aqui.

Veja: Como aprender análise combinatória do zero

Simplificações e exercícios

Ainda, é importante ressaltar algumas coisas, sobre números fatoriais quando formos operá-los.

Via de regra a soma e subtração de fatoriais é diferente ao fatorial da soma ou subtração.

Veja por exemplo:

3!+4! = 6 + 24 = 30 ≠ 5040 = 7! = (3+4)!

Na divisão podemos fazer simplificações desenvolvendo os fatoriais pela definição recursiva deles.

Veja no exemplo:

8!/5! = (8·7·6·5!)/5! = 8·7·6 = 336

Agora, tente resolver os seguintes exercícios aplicando o conhecimento aprendido.

Exercício 1. Encontre as raízes da seguinte equação: (x + 3)! + (x + 2)! = 8(x + 1)!

Exercício 2. Calcule o valor de: (4!·7!)/10!

Exercício 3. Simplifique a expressão: (2n)!/(2(2n-3)!)

Continue acompanhando o blog para mais exercícios e exemplos.