Obter o fluxo do campo elétrico pode ser uma maneira prática e fácil de determinar o campo elétrico em uma dada região do espaço. Decerto, seja em Física 3 ou mesmo num curso de eletromagnetismo saber técnicas e métodos eficazes para sair de uma questão pode ser o ponto chave para que você consiga economizar um bom tempo e arrasar com o notação na matéria. Em particular, nessas disciplinas nós vemos essa necessidade reforçada uma vez que vários problemas dessas áreas, por vezes, são bem complexos e matematicamente difíceis de serem feitos.

Nesse sentido, nós da MeuGuru sabendo da iminente dificuldade que todos nós temos/tivemos nessa componente da física decidimos trazer a você esse artigo. Com efeito, nesse texto traremos para você um rápido tutorial sobre o fluxo do campo elétrico bem como a importante lei de Gauss. Ademais, de posse da lei de Gauss para o fluxo do campo elétrico obteremos tanto o divergente do campo E como também resolveremos dois problemas, passo a passo, que podem te ajudar bastante nessa matéria.

O fluxo do campo elétrico

Bom de início, é extremamente importante que nós consigamos definir o que é o fluxo do campo elétrico, já que esse é nosso objetivo nesse texto. Com efeito, o estudo da eletrostática, magnetoestática e posteriormente do eletromagnetismo teve forte influência de noções e desenvolvimentos advindos da hidrodinâmica. Em suma, após a concepção de campo feita por Michael Faraday, a analogia entre linhas de campo elétrico e os vetores de campos de velocidades em fluidos em escoamente emergiram em grande sintonia.

Entretanto, vale destacar que a noção de linhas de campo já vinha muito antes disso, uma vez que grandes pensadores acreditavam que a eletricidade deveria ser um tipo fluido. Uma vez que, a eletricidade, mais precisamente a corrente elétrica era capaz de “viajar” por distâncias e, ainda, atravessar superfícies. Consequentemente, essas ideias fundamentam o que entendemos por fluxo sendo isso definido como o quanto de uma dada quantidade física consegue atravessar uma superfície de área a em cada instante de tempo t. Portanto, a noção vai além de apenas uma taxa de variação temporal.

A seguir ilustramos um esquema sobre como seriam as linhas de campo perpassando uma superfície arbitrária.

Definindo fluxo matematicamente

Agora que perpassamos a discussão física, vamos estabelecer matematicamente esse conceito. Com efeito, na discussão anterior ficou claro que a noção de fluxo depende de alguns elementos sendo esses: o objeto a ser avaliado, em geral o campo, a superfície de incidência e a taxa com que tal incidência é feita. Nesse contexto, uma forma rigorosa de por isso em equações é através da integração de linha a qual nos diz que o fluxo Fi de um campo E é dado por

em que a é o vetor ssociado a superfície fechada para qual as linhas do campo estão passando.

A lei de gauss para o fluxo do campo elétrico

Por conseguinte, agora que já temos em mãos os conhcecimentos basilares sobre a noção de fluxo podemos entrar em nosso grande objeto: a lei de gauss. Em suma, a lei de Gauss é uma relação integral que associa o fluxo do campo elétrico E sobre qualquer superfície. De fato, esse resultado é extremamente geral e possui grandes aplicações ao passo que evidencia a nós que, para o campo elétrico, temos um aindependência da superfície incidente pelas linhas de campo.

Então, podemos apresentar a lei de Gauss pela seguinte expressão:

em que o lado esquerdo da igualdade corresponde ao fluxo do campo elétrico, Q é carga total encapsulada na região e e0 é a constante eletrostática do vácuo.

De fato, podemos dissertar sobre tal expressão por horas e horas, mas esse não é nosso objetivo aqui nesse texto. Assim, é necessário que você entenda apenas o essencial para te ajudar, o qual resumiremos a seguir.

• A lei de Gauss estabelece que o fluxo do campo elétrico é constante e independe da superfície.
• Através da lei de Gauss podemos facilmente calcular o valor do campo E, que por vezes é nosso objetivo.
• Há problemas que são primorosos a serem tratados por ela. Com efeito, problemas que tenham alto grau de simetria são essencialmente mais práticos de serem tratados com essa lei. Em verdade, isso ocorre por que conseguimos, nesses casos, eliminar a possibilidade de integrar o campo E.

Forma diferencial da lei de Gauss

Ademais, a lei de Gauss ainda tem um papel extremamente importante com relação ao eletromagnetismo. Com efeito, essa lei física é uma das 4 equações fundamentais de Maxwell para a teoria eletromagnética que unificam o eletromagnetismo. Nesse contexto, é de grande valor estabelecermos a conexão entre a lei de Gauss que apresentamos anteriormente em sua formulação diferencial, isto é, em termos de operadores diferenciais como derivadas.

Para tanto, iremos calcular então o divergente do campo elétrico E, sabendo que numa região de um determinado volume V há uma distribuição p de carga que depende do vetor posição r teremos que esse divergente é:

Assim, obtemos a expressão exata para a lei de Gauss na eletroestática em forma diferencial. Não obstante, vale ressaltar aqui que tal lei é de fundamental importância também por permitir que obtenhamos a equação de Poisson para eletrostática, bastando lembrar que E = -div V em que V é a função potencial eletrostático.

Problemas resolvidos com a lei de Gauss

Com isso, vamos agora a alguns problemas clássicos envolvendo a lei de Gauss. De fato, uma das grandes facilidades oferecidas por tal lei é resolver problemas com alto grau de simetria. Por exemplo, problemas que possam ser postos em coordenadas esféricas, cilíndricas e polares ou cartesianas de forma fácil. Não obstante, por vezes a ideia do emprego da lei de Gauss não é bem para determinarmos o fluxo do campo, mas sim para obtermos uma expressão fácil e rápida para o campo elétrico na região de interesse. Dito isso, vamos aos exemplos.

Esfera condutora

O primeiro exemplo consiste em obtermos o campo elétrico de uma esfera condutora numa região para qual r >R sendo R o raio da esfera. Então, como o problema tem alta simetria por ser esférico, e conveniente escolhermos a direção radial r, de modo que o produto escalar entre o campo E e o vetor infinitesimal de área a seja trivial, ademais, perceba que nesse ponto sobre uma superfície de raio r > R o campo é tem mesmo valor e logo ele simplesmente poderá sair da integral. Logo, teremos o seguinte desenvolvimento.

em que q =Q é a carga elétrica encapsulada na região de raio r a qual chamamos de superfície gaussiana.

Plano infinito

Agora, vamos ao problema do plano infinito. Imagine que temos uma região de um plano infinito e logo se escolhermos E na direção de z ocorrerá o mesmo caso anterior e o campo E sairá da integral. Ademais, aqui há um ponto extra a considerar, no problema do plano infinito temos duas contribuições para E, uma para cima e outra para baixo. Portanto, devemos multiplicar nosso resultado da integração por 2 visto que assim compensaremos tais contribuições.

Além disso, supondo que o plano tem densidade de carga superficial sigma segue que a carga Q = sigma x A, em que A é a área indicada na figura. Com isso em mãos, podemos ir ao desenvolvimento que nos dá.

Referências

• NUSSZENZVEIG, Moysés. Curso de Física Básica – Volume 3: Eletromagnetismo. 6ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2013. 400 p.
• FEYNMAN, Richard Philips. Física em 12 lições: fáceis e não tão fáceis. 3. ed. Rio de Janeiro: Nova fronteira, 2021. 293 p. ISBN: 9786556401614.
• YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física de Sears & Zemansky: Volume III: Eletromagnetismo. 14. ed. São Paulo: Pearson Universidades, 2015. 448 p. ISBN 9788543015910.
• GRIFFITHS, David Jeffery. Introduction to Electrodynamics. 3. ed. Ilustrada. Prentice Hall, 1999. 576 páginas. ISBN 9780138053260.