O rotacional é um importante operador vetorial que aparece nos estudos avançados de cálculo com geometria analítica. Em verdade, esse operador surge com intuito de atuar sobre funções vetoriais, e por conseguinte, gerando novas funções vetoriais. Além disso, esse operador, assim como o divergente, possui diversas aplicações na física-matemática, em particular, permitindo a caracterização dos campos conservativos e, ainda, sendo associado a medidas de vorticidades.

Tendo isso em vista, bem como sua importância nas disciplinas de cálculo avançado, hoje, nós da MeuGuru vamos falar sobre o rotacional. Nesse sentido, vamos nesse texto buscar te dar as bases necessárias para você entender o que é o rotacional de uma vez por todas.

O que é o rotacional ?

O rotacional é um operador matemático usado para descrever a rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. É uma medida da tendência de um campo vetorial de girar em torno de um ponto. Nesse sentido, podemos definir esse operador da seguinte forma.

onde F_x, F_y e F_z são as componentes do campo vetorial F. A partir dessa definição fica evidente que o cálculo do rotacional de um campo será determinado através de um determinante. Por conseguinte, é importante que você tenha em mente as principais técnicas para o cálculo de determinantes.

Aplicações do rotacional

O rotacional é usado em várias áreas da física e da matemática, incluindo eletromagnetismo, mecânica dos fluidos e mecânica quântica. Em virtude disso, poderíamos ter uma extensa lista com todas as incríveis aplicações desse operador. Entretanto, é interessante citarmos uma aplicação na própria matemática.

De fato, no contexto do cálculo de funções vetoriais, podemos empregar esse operador para a obtenção de uma condição para termos um campo dito conservativo. Em geral, campos conservativos são um tipo particular de campos vetoriais, esses, campos tem várias nuances que os tornam interessantes, como.

• Na física, esses campos são associados a solução de problemas da gravitação e eletromagnetismo. Além disso, forças que são conservativas, em verdade, são campos conservativos e assim, o trabalho feito de um ponto a outro independe da trajetória.
• No estudo das EDOs, elas aparecem como uma forma de solução para formas diferenciais exatas.

Nesse sentido, vamos estabelecer uma condição para que um campo seja conservativo. Com efeito, vamos ao seguinte Teorema.

é importante dizermos que se o conjunto omega for simplesmente conexo, então, se a condição acima for verdadeira o campo é conservativo.

Exemplos resolvidos passo a passo

Agora, tendo em vista a relevância do operador rotacional, vamos agora nos ater a alguns exemplos envolvendo o cálculo direto do rotacional de certos campos vetoriais.