Sistemas de controle de primeira ordem sem zeros podem ser descritos pela função de transferência mostrada na figura 1(a).

Caso a entrada seja um degrau unitário, em que R(s) = 1/s, a transformada de Laplace da resposta ao degrau é C(s), em que

Aplicando a transformada inversa, a resposta ao degrau é dada por

c(t)=c_f(t)+c_n(t)=1-e^-at (1)

Em que o polo da entrada na origem gerou a resposta forçada c_f(t) = 1, e o polo do sistema em -a, como mostrado na figura 1(b), gerou a resposta natural c_n(t) =-e^-at .

A Eq. (1) é representada graficamente na Figura 2.

Constante de tempo de sistemas de controle de primeira ordem

Chamamos 1/a de constante de tempo da resposta, assim constante de tempo pode ser descrita como o tempo para e^–at decair para 37% de seu valor inicial.

Sendo que a constante de tempo é o tempo necessário para a resposta ao degrau atingir 63% de seu valor final (ver a Figura 2).

O inverso da constante de tempo tem a unidade (1/segundos), ou frequência. Assim, podemos chamar o parâmetro a de frequência exponencial. Uma vez que a derivada de e^–at  é –a quando t = 0, a é a taxa inicial de variação da exponencial em t = 0.

Assim, a constante de tempo pode ser considerada uma especificação da resposta transitória para um sistema de primeira ordem, considerando está relacionada à velocidade com a qual o sistema responde a uma entrada em degrau.

A constante de tempo também pode ser calculada a partir do diagrama do polo (ver a Figura 1(b)).

Uma vez que o polo da função de transferência está em –a, podemos dizer que o polo está localizado no inverso da constante de tempo.

Quanto mais afastado o polo estiver do eixo imaginário, mais rápida será a resposta transitória.