Fala gurunauta, hoje o assunto é o Teorema do valor intermediário. De fato, quando começamos os estudos em Cálculo 1 somos apresentados a vários teoremas, dentre estes podemos citar os Teoremas: do valor médio, de Weistrass e o valor intermediário. Em particular, todos esses são resultados matemáticos suficientemente importantes.

Tendo isso em vista, nós vamos, nesse texto, explorar o Teorema do valor intermediário (TVI). Em verdade, esse resultado matemático nos garantirá consequências muito interessantes. Assim, ao passo que nós nos debruçarmos sobre o assunto vai ficar claro para você gurunauta, como o cálculo é elegante e, inclusive, útil para nós em vários problemas.

O que é o teorema do valor intermediário?

No cálculo diferencial, há inúmeros resultados grandiosos que merecem o título de teorema, sendo um desses o valor intermediário. Nesse sentido, nós vamos enunciar esse importante resultado a seguir.

Assim, vemos que basicamente o teorema nos permite idenficar/localizar um ponto no domínio da função e sua respectiva imagem.

Entretanto, talvez a primeira vista esse Teorema não parece tão forte, ou melhor, tão interessante. Todavia, sob essas simples palavras nós podemos obter resultados realmente fortes os quais nos ajudam a determinar raízes de funções extremamente complicadas.

Encontrando raízes com o TVI

Agora que conhecemos o TVI, vamos entender como ele pode ser incrível. De fato, vamos pensar numa função f(x) dada a seguir.

Veja que a f(x) é uma função contínua para todo x real. Agora, veja que em x = 1 e x = 2 temos o seguinte

Agora perceba que, 0 está entre f(1) = -1 e f(2) = 44, logo, pelo teorema do valor intermediário existe um número c entre 1 e 2 tal que f(c) = 0.

Veja, basicamente, o Teorema do valor intermediário nos deu nesse caso um resultado muito forte, ele permitiu a nós determinarmos a existência de um valor que é a raíz do número c. Em verdade, esse resultado permite ainda que nós obtenhamos raízes para vários tipos de funções, desde que, achemos dois valores a e b, do domínio da função, tais que f(a) e f(b), tenham sinais contrários, uma vez que, ao terem sinais contrários, garantiremos que 0 estará entre f(a) e f(b).

O Teorema do valor intermediário como um resultado de existência!

Todavia, é importante fazermos uma consideração sobre esse Teorema. Em verdade, quando usamos o Teorema, estamos garantindo o que chamamos de resultado de existência. Isto é, sabemos que existe o número c tal que f(c) = 0. Entretanto, não sabemos e nem temos quaisquer informações sobre esse número.

Assim, gurunauta, muitas vezes apenas garantir a existência já é algo incrível dentro da matemática. Todavia, não é algo efetivamente preciso e é nesse caminho que métodos numéricos de computação caminham, ao passo que com uma série de aproximações eles conseguem garantir uma valor aproximativo para esses valores de existência, em particular citamos o método da biseção.

Com isso chegamos ao fim gurunauta. E lembre-se, sempre conte com a MeuGuru para te ajudar, aqui sempre teremos um guru especial para seu problema.